Lo stupore richiede buone fondamenta.

A parità di raggio iniziale, come cambia un’orbita al variare della velocità?

Prevedi la traiettoria al di sotto e al di sopra della velocità circolare.

1. Metti in pausa e imposta la velocità a 0.8 volte quella circolare.
2. Avvia, poi ripristina e confronta i rapporti 1.0 e 1.2.
3. Annota la distanza minima e quella massima.

Che cosa misurare

Confronta raggio r, velocità v, tempo trascorso ed errore dell’energia.

L’idea alla base

Il moto circolare richiede che la gravità fornisca esattamente l’accelerazione verso il centro necessaria. Altre velocità di lancio producono traiettorie eccentriche, collisioni o fuga, a seconda dell’energia e del raggio del pianeta.

Costruisci il ragionamento

1. Parti da F = GMm/r² e dividi per la massa del satellite: a = μ/r².
2. Per il moto circolare poni v²/r = μ/r². Quindi v = √(μ/r) e T = 2π√(r³/μ).
3. Combina energia cinetica e potenziale per unità di massa: ε = v²/2 − μ/r. Il segno distingue le traiettorie legate da quelle non legate.

Esempio svolto 1

Con μ=3.986×10¹⁴ m³/s² e r=7×10⁶ m, v_c=7546 m/s.

Esempio svolto 2

A quel raggio T=5829 s≈97.1 min. Raddoppiando r, T viene moltiplicato per 2√2.

Applicazioni

La meccanica orbitale collega navigazione satellitare, comunicazioni e trasferimenti interplanetari. Un lancio sceglie posizione e velocità, non impone un cerchio.

Errore comune

Assenza di peso non significa assenza di gravità. Il raggio orbitale si misura dal centro. La deriva numerica non è produzione reale di energia.

Un’indagine ulteriore

Di quale fattore deve aumentare il raggio per raddoppiare il periodo di un’orbita circolare?

Verifica la comprensione

In quale direzione punta l’accelerazione?

• Verso il centro
• Nella direzione della velocità
• È nulla

Limiti del modello

Modello newtoniano a due corpi con massa centrale fissa. Nessuna resistenza, terzo corpo, schiacciamento polare o relatività. Le dimensioni visive sono illustrative; le condizioni iniziali sono ipotetiche, non effemeridi in tempo reale.

University Physics Volume 1, 13.4 Satellite Orbits and Energy

Come può un satellite continuare a cadere senza raggiungere il suolo?

Senza gravità, si muoverebbe radialmente verso l’esterno o lungo la tangente?

1. Avvia un’orbita circolare e mostra i vettori.
2. Metti in pausa e avanza un passo alla volta.
3. Confronta come ruotano velocità e accelerazione.

Che cosa misurare

Confronta x, y, v_x, v_y e |a| in due posizioni.

L’idea alla base

La velocità porta il corpo lungo una tangente, mentre la gravità ne incurva la traiettoria verso il centro. L’apparente assenza di peso è una caduta libera condivisa, non l’assenza di gravità. Nel moto circolare l’accelerazione cambia la direzione della velocità senza modificarne il modulo.

Costruisci il ragionamento

1. Parti da F = GMm/r² e dividi per la massa del satellite: a = μ/r².
2. Per il moto circolare poni v²/r = μ/r². Quindi v = √(μ/r) e T = 2π√(r³/μ).
3. Combina energia cinetica e potenziale per unità di massa: ε = v²/2 − μ/r. Il segno distingue le traiettorie legate da quelle non legate.

Esempio svolto 1

A r=7×10⁶ m, l’accelerazione è 8.13 m/s², ben lontana da zero.

Esempio svolto 2

In 1 s la piccola caduta verso il centro è circa aΔt²/2=4.07 m, mentre lo spostamento tangenziale è circa 7.55 km.

Applicazioni

La meccanica orbitale collega navigazione satellitare, comunicazioni e trasferimenti interplanetari. Un lancio sceglie posizione e velocità, non impone un cerchio.

Errore comune

Assenza di peso non significa assenza di gravità. Il raggio orbitale si misura dal centro. La deriva numerica non è produzione reale di energia.

Un’indagine ulteriore

Usa il prodotto scalare per verificare che velocità e accelerazione siano perpendicolari.

Verifica la comprensione

Perché gli occupanti di un veicolo in orbita si sentono senza peso?

• Non c’è gravità
• Il veicolo e ciò che contiene cadono insieme

Limiti del modello

Modello newtoniano a due corpi con massa centrale fissa. Nessuna resistenza, terzo corpo, schiacciamento polare o relatività. Le dimensioni visive sono illustrative; le condizioni iniziali sono ipotetiche, non effemeridi in tempo reale.

University Physics Volume 1, 13.2 Gravitation Near Earth’s Surface

University Physics Volume 1, 13.4 Satellite Orbits and Energy

Quanto si indebolisce la gravità raddoppiando la distanza dal centro?

Si dimezza o si riduce a un quarto? Annota una previsione.

1. Imposta il raggio iniziale dal centro a 7000 km e annota l’accelerazione.
2. Raddoppia il raggio a 14000 km, ripristina e confronta.
3. Mantieni fisso il raggio e raddoppia la massa centrale.

Che cosa misurare

Calcola a₂/a₁ e a·r²/μ; il secondo rapporto dovrebbe essere uguale a uno.

L’idea alla base

L’accelerazione è proporzionale alla massa centrale e inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro. Il raggio si misura dal centro, non dalla superficie. Un grafico logaritmico offre una verifica utile: log(g) in funzione di log(r) ha pendenza −2.

Costruisci il ragionamento

1. Parti da F = GMm/r² e dividi per la massa del satellite: a = μ/r².
2. Per il moto circolare poni v²/r = μ/r². Quindi v = √(μ/r) e T = 2π√(r³/μ).
3. Combina energia cinetica e potenziale per unità di massa: ε = v²/2 − μ/r. Il segno distingue le traiettorie legate da quelle non legate.

Esempio svolto 1

A r=7×10⁶ m, g=8.13 m/s²; a 14×10⁶ m, g=2.03 m/s².

Esempio svolto 2

Raddoppiando sia la massa sia il raggio si ottiene g₂/g₁=2/4=0.5.

Applicazioni

La meccanica orbitale collega navigazione satellitare, comunicazioni e trasferimenti interplanetari. Un lancio sceglie posizione e velocità, non impone un cerchio.

Errore comune

Assenza di peso non significa assenza di gravità. Il raggio orbitale si misura dal centro. La deriva numerica non è produzione reale di energia.

Un’indagine ulteriore

Se il raggio raddoppia, quale fattore della massa mantiene invariata l’accelerazione?

Verifica la comprensione

Se la massa del satellite raddoppia, che cosa accade alla sua accelerazione?

• Raddoppia
• Resta invariata

Limiti del modello

Modello newtoniano a due corpi con massa centrale fissa. Nessuna resistenza, terzo corpo, schiacciamento polare o relatività. Le dimensioni visive sono illustrative; le condizioni iniziali sono ipotetiche, non effemeridi in tempo reale.

University Physics Volume 1, 13.2 Gravitation Near Earth’s Surface

Che cosa distingue un’orbita legata da una traiettoria di fuga?

Prevedi il segno dell’energia a 1.4 e 1.5 volte la velocità circolare.

1. Aumenta gradualmente la velocità di lancio.
2. Leggi K, U ed E; trova la soglia di energia nulla.
3. Controlla l’errore numerico dell’energia lungo un’orbita legata.

Che cosa misurare

Energia specifica ε=E/m in J/kg ed errore numerico dell’energia.

L’idea alla base

Con potenziale nullo all’infinito, un’energia negativa corrisponde a un moto legato, un’energia nulla alla soglia di fuga e un’energia positiva a un moto non legato. La deriva numerica non è produzione fisica di energia. Vicino a energia totale nulla, confronta l’errore con la scala iniziale dell’energia di legame per evitare un errore relativo fuorviante.

Costruisci il ragionamento

1. Parti da F = GMm/r² e dividi per la massa del satellite: a = μ/r².
2. Per il moto circolare poni v²/r = μ/r². Quindi v = √(μ/r) e T = 2π√(r³/μ).
3. Combina energia cinetica e potenziale per unità di massa: ε = v²/2 − μ/r. Il segno distingue le traiettorie legate da quelle non legate.

Esempio svolto 1

A r=7×10⁶ m, v_esc≈10672 m/s, il 41.4% in più della velocità circolare.

Esempio svolto 2

L’energia specifica circolare è −28.47 MJ/kg. Un corpo di 1000 kg ha E=−28.47 GJ.

Applicazioni

La meccanica orbitale collega navigazione satellitare, comunicazioni e trasferimenti interplanetari. Un lancio sceglie posizione e velocità, non impone un cerchio.

Errore comune

Assenza di peso non significa assenza di gravità. Il raggio orbitale si misura dal centro. La deriva numerica non è produzione reale di energia.

Un’indagine ulteriore

Perché un passo temporale più piccolo riduce l’errore numerico senza cambiare le condizioni di lancio?

Verifica la comprensione

Qual è il rapporto tra velocità di fuga e velocità circolare?

• √2
• 2
• 1/2

Limiti del modello

Modello newtoniano a due corpi con massa centrale fissa. Nessuna resistenza, terzo corpo, schiacciamento polare o relatività. Le dimensioni visive sono illustrative; le condizioni iniziali sono ipotetiche, non effemeridi in tempo reale.

University Physics Volume 1, 13.4 Satellite Orbits and Energy

Come influisce il segno della carica sulla direzione del campo e della forza?

Una carica di prova negativa accelera nel verso del campo o in quello opposto?

1. Posiziona una sorgente positiva e osserva le frecce del campo.
2. Invertine il segno e rilascia una particella di prova.
3. Modifica la carica di prova e confronta l’accelerazione.

Che cosa misurare

E_x ed E_y in N/C; F=qE in N.

L’idea alla base

La direzione del campo è definita usando una carica di prova positiva. Una carica di prova negativa subisce una forza opposta. Il campo dipende dalle sorgenti, non dalla carica di prova.

Costruisci il ragionamento

1. Calcola separatamente ciascuna sorgente e somma i contributi vettoriali. Il potenziale si somma come scalare con segno.
2. Usa F = qE oppure F = q(v × B), poi dividi per la massa per ottenere l’accelerazione.
3. Il modello elettrico usa potenziale e campo regolarizzati coerenti con ε = 0.2 m; vicino alla sorgente differisce dalle cariche puntiformi ideali.

Esempio svolto 1

Per Q=1 nC a r=1 m, E=8.99 N/C verso l’esterno.

Esempio svolto 2

In quel campo q=−2 nC dà F=−17.98 nN, verso la sorgente. Questi calcoli senza regolarizzazione valgono lontano dal nucleo.

Applicazioni

Le lenti elettrostatiche guidano gli elettroni; i campi magnetici separano le particelle per quantità di moto e carica. La direzione conta quanto l’intensità.

Errore comune

Una linea di campo non è in generale una traiettoria. Una carica negativa accelera in verso opposto a E. Una forza puramente magnetica non compie lavoro.

Un’indagine ulteriore

Che cosa accade all’intensità del campo se la distanza triplica?

Verifica la comprensione

In quale direzione punta il campo di una sorgente negativa?

• Verso la carica
• Lontano dalla carica

Limiti del modello

Sorgenti statiche e sovrapposizione di Coulomb. Un nucleo regolarizzato elimina le singolarità. Le linee di campo sono costruzioni grafiche la cui densità dipende dai punti iniziali scelti. Non è un solutore delle equazioni di Maxwell dipendente dal tempo.

University Physics Volume 2, 5.4 Electric Field

Il campo si annulla tra due cariche uguali e opposte?

Nel punto medio di un dipolo, potenziale e campo saranno entrambi nulli?

1. Posiziona +Q e −Q di uguale intensità su lati opposti.
2. Osserva il campo e il potenziale nel punto medio.
3. Sostituisci −Q con +Q e confronta.

Che cosa misurare

Somma vettoriale E=E₁+E₂ e somma scalare V=V₁+V₂.

L’idea alla base

Tra sorgenti opposte i vettori del campo sono concordi e si sommano, mentre i potenziali scalari con segno si annullano nel punto medio. Con cariche uguali dello stesso segno, invece, si annulla il campo nel punto medio. È una distinzione pratica di algebra lineare tra somma scalare e vettoriale.

Costruisci il ragionamento

1. Calcola separatamente ciascuna sorgente e somma i contributi vettoriali. Il potenziale si somma come scalare con segno.
2. Usa F = qE oppure F = q(v × B), poi dividi per la massa per ottenere l’accelerazione.
3. Il modello elettrico usa potenziale e campo regolarizzati coerenti con ε = 0.2 m; vicino alla sorgente differisce dalle cariche puntiformi ideali.

Esempio svolto 1

Per ±1 nC in x=±1 m, nel punto medio |E|=17.98 N/C e V=0.

Esempio svolto 2

Per due sorgenti da +1 nC nelle stesse posizioni, nel punto medio E=0 e V=17.98 V, prima della regolarizzazione del nucleo.

Applicazioni

Le lenti elettrostatiche guidano gli elettroni; i campi magnetici separano le particelle per quantità di moto e carica. La direzione conta quanto l’intensità.

Errore comune

Una linea di campo non è in generale una traiettoria. Una carica negativa accelera in verso opposto a E. Una forza puramente magnetica non compie lavoro.

Un’indagine ulteriore

Raddoppia una delle due cariche dello stesso segno e individua il nuovo punto di campo nullo.

Verifica la comprensione

V=0 implica E=0?

• Sempre
• No

Limiti del modello

Sorgenti statiche e sovrapposizione di Coulomb. Un nucleo regolarizzato elimina le singolarità. Le linee di campo sono costruzioni grafiche la cui densità dipende dai punti iniziali scelti. Non è un solutore delle equazioni di Maxwell dipendente dal tempo.

University Physics Volume 2, 5.4 Electric Field

University Physics Volume 2, 7.2 Electric Potential and Potential Difference

Una linea di campo è la traiettoria di una particella?

Una particella con velocità laterale seguirà esattamente una linea di campo?

1. Configura un dipolo e mostra il potenziale.
2. Rilascia una particella e confronta la sua traiettoria con le linee.
3. Modifica la velocità iniziale e confronta le traiettorie nello stesso campo.

Che cosa misurare

V in volt, U=qV in joule, posizione e velocità della particella.

L’idea alla base

Una linea di campo rappresenta la direzione locale. Una particella possiede quantità di moto: l’accelerazione segue qE/m, ma la velocità non deve necessariamente essere parallela a E. Per una carica positiva che si sposta verso potenziali minori, l’energia potenziale diventa energia cinetica. Questa distinzione è importante nell’ottica elettronica.

Costruisci il ragionamento

1. Calcola separatamente ciascuna sorgente e somma i contributi vettoriali. Il potenziale si somma come scalare con segno.
2. Usa F = qE oppure F = q(v × B), poi dividi per la massa per ottenere l’accelerazione.
3. Il modello elettrico usa potenziale e campo regolarizzati coerenti con ε = 0.2 m; vicino alla sorgente differisce dalle cariche puntiformi ideali.

Esempio svolto 1

Una carica di +2 nC che attraversa una caduta di potenziale di 10 V acquista 20 nJ di energia cinetica.

Esempio svolto 2

Per m=10⁻⁹ kg, partendo da ferma si ottiene v=√(2ΔK/m)=6.32 m/s.

Applicazioni

Le lenti elettrostatiche guidano gli elettroni; i campi magnetici separano le particelle per quantità di moto e carica. La direzione conta quanto l’intensità.

Errore comune

Una linea di campo non è in generale una traiettoria. Una carica negativa accelera in verso opposto a E. Una forza puramente magnetica non compie lavoro.

Un’indagine ulteriore

Perché una carica negativa può acquistare energia cinetica muovendosi verso una tensione maggiore?

Verifica la comprensione

Che cosa determina direttamente una freccia del campo?

• La direzione dell’accelerazione di una carica positiva
• Ogni possibile velocità iniziale

Limiti del modello

Sorgenti statiche e sovrapposizione di Coulomb. Un nucleo regolarizzato elimina le singolarità. Le linee di campo sono costruzioni grafiche la cui densità dipende dai punti iniziali scelti. Non è un solutore delle equazioni di Maxwell dipendente dal tempo.

University Physics Volume 2, 7.2 Electric Potential and Potential Difference

University Physics Volume 2, 5.4 Electric Field

Un campo magnetico aumenta il modulo della velocità di una particella?

Cambierà la direzione, il modulo della velocità o entrambi?

1. Seleziona l’esperimento magnetico.
2. Segui la traiettoria circolare in un campo uniforme.
3. Spiega perché invertire il segno della carica inverte il verso della curvatura.

Che cosa misurare

Raggio r, periodo di rotazione T e modulo costante della velocità.

L’idea alla base

La forza magnetica è perpendicolare alla velocità e a B. Non compie lavoro, quindi curva il moto senza aumentare il modulo della velocità. Conoscendo B e misurando il raggio si può ricavare m/|q|: è il principio della spettrometria di massa.

Costruisci il ragionamento

1. Calcola separatamente ciascuna sorgente e somma i contributi vettoriali. Il potenziale si somma come scalare con segno.
2. Usa F = qE oppure F = q(v × B), poi dividi per la massa per ottenere l’accelerazione.
3. Il modello elettrico usa potenziale e campo regolarizzati coerenti con ε = 0.2 m; vicino alla sorgente differisce dalle cariche puntiformi ideali.

Esempio svolto 1

Per i valori illustrativi q/m=1 C/kg, v=2 m/s e B=1.5 T, r=1.333 m.

Esempio svolto 2

Con questi valori T=2π/1.5=4.189 s. Raddoppiando B si dimezzano sia r sia T.

Applicazioni

Le lenti elettrostatiche guidano gli elettroni; i campi magnetici separano le particelle per quantità di moto e carica. La direzione conta quanto l’intensità.

Errore comune

Una linea di campo non è in generale una traiettoria. Una carica negativa accelera in verso opposto a E. Una forza puramente magnetica non compie lavoro.

Un’indagine ulteriore

Qual è la forza se v è parallela a B?

Verifica la comprensione

Una forza puramente magnetica compie lavoro su una carica puntiforme?

• Sì
• No

Limiti del modello

Circonferenza analitica in un campo B statico uniforme. Nessun campo elettrico, radiazione, collisione o relatività. Valori schematici a scopo didattico, non un progetto di produzione.

University Physics Volume 2, 11.3 Motion of a Charged Particle in a Magnetic Field

A velocità costante, che cosa accade alla lunghezza d’onda se la frequenza aumenta?

Prevedi la distanza tra le creste quando la frequenza raddoppia.

1. Seleziona l’onda progressiva.
2. Mantieni fissa la velocità di propagazione e modifica la frequenza.
3. Segui la distanza percorsa da una cresta in un ciclo completo.

Che cosa misurare

f in Hz; λ in m; v=fλ in m/s; T=1/f in s.

L’idea alla base

La frequenza conta i cicli al secondo; la lunghezza d’onda è la distanza percorsa da una cresta in un ciclo. L’ampiezza è lo spostamento massimo dall’equilibrio. In questo modello non dispersivo, modificare la frequenza cambia la lunghezza d’onda senza cambiare la velocità di propagazione.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi la perturbazione come y = A sin(kx − ωt + φ), con k = 2π/λ e ω = 2πf.
2. Mantenere costante la fase dà v = ω/k = fλ. Con fasi diverse si sommano gli spostamenti, non direttamente le ampiezze.
3. Due onde in versi opposti formano nodi dove la somma è nulla in ogni istante.

Esempio svolto 1

Per v=4 m/s e f=2 Hz, λ=2 m e T=0.5 s.

Esempio svolto 2

Alla stessa v=4 m/s, f=4 Hz dà λ=1 m.

Applicazioni

Lo stesso linguaggio descrive strumenti musicali, comunicazioni, onde sismiche e misure interferometriche. Lo spettro rivela strutture nascoste nella traccia temporale.

Errore comune

La configurazione che si propaga non è il moto di una parte del mezzo. L’interferenza ridistribuisce l’energia. Una DFT ha risoluzione finita e limite di Nyquist.

Un’indagine ulteriore

Come può un’onda muoversi verso destra mentre un punto del mezzo si muove su e giù?

Verifica la comprensione

A v costante, raddoppiando f, λ diventa…

• La metà
• Il doppio

Limiti del modello

Modello didattico analitico lineare, non un solutore numerico dei fluidi. Nessuno smorzamento, dispersione o accoppiamento non lineare.

University Physics Volume 1, 16.2 Mathematics of Waves

Due onde non nulle possono dare una somma nulla?

Prevedi la somma di due onde uguali con differenza di fase π.

1. Seleziona l’esperimento di interferenza.
2. Modifica la fase relativa da 0 a π ≈ 3.14 rad (180°).
3. Confronta le due onde componenti e la loro somma.

Che cosa misurare

In un punto osserva y₁, y₂ e y₁+y₂; misura l’ampiezza risultante.

L’idea alla base

Gli spostamenti lineari si sommano. Contributi uguali si rafforzano in fase e si annullano in opposizione di fase. L’annullamento in un punto non distrugge l’energia: l’interferenza spaziale la ridistribuisce. Questo principio è alla base della cancellazione del rumore e degli insiemi di antenne. Una traccia con sfasamento è una sezione locale, non un modello spaziale completo della radiazione.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi la perturbazione come y = A sin(kx − ωt + φ), con k = 2π/λ e ω = 2πf.
2. Mantenere costante la fase dà v = ω/k = fλ. Con fasi diverse si sommano gli spostamenti, non direttamente le ampiezze.
3. Due onde in versi opposti formano nodi dove la somma è nulla in ogni istante.

Esempio svolto 1

Per A=0.2 m e Δφ=0, l’ampiezza risultante è 0.4 m.

Esempio svolto 2

Con Δφ=π, contributi uguali si annullano. Con Δφ=π/2, l’ampiezza risultante è 0.283 m.

Applicazioni

Lo stesso linguaggio descrive strumenti musicali, comunicazioni, onde sismiche e misure interferometriche. Lo spettro rivela strutture nascoste nella traccia temporale.

Errore comune

La configurazione che si propaga non è il moto di una parte del mezzo. L’interferenza ridistribuisce l’energia. Una DFT ha risoluzione finita e limite di Nyquist.

Un’indagine ulteriore

Perché due onde di 0.2 m e 0.1 m in opposizione di fase non si annullano completamente?

Verifica la comprensione

Onde uguali in fase producono un’ampiezza…

• 2A
• 0
• A/2

Limiti del modello

Modello didattico analitico lineare, non un solutore numerico dei fluidi. Nessuno smorzamento, dispersione o accoppiamento non lineare.

University Physics Volume 1, 16.5 Interference of Waves

Perché alcuni punti di un’onda stazionaria non si muovono mai?

Quanti nodi interni avrà la seconda armonica?

1. Seleziona le onde stazionarie e osserva la fondamentale.
2. Aumenta il numero dell’armonica da 1 a 2 e a 3.
3. Conta i nodi e confronta la loro distanza con λ/2.

Che cosa misurare

Armonica n, posizioni dei nodi, f_n e λ_n.

L’idea alla base

Onde uguali che si propagano in versi opposti creano un inviluppo stazionario dell’ampiezza. Le estremità fisse devono restare nodi: sono quindi ammessi solo numeri interi di mezze lunghezze d’onda. Questi modi spiegano l’altezza dei suoni degli strumenti a corda e aiutano gli ingegneri a evitare risonanze strutturali dannose.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi la perturbazione come y = A sin(kx − ωt + φ), con k = 2π/λ e ω = 2πf.
2. Mantenere costante la fase dà v = ω/k = fλ. Con fasi diverse si sommano gli spostamenti, non direttamente le ampiezze.
3. Due onde in versi opposti formano nodi dove la somma è nulla in ogni istante.

Esempio svolto 1

Per L=2 m e v=4 m/s, f₁=1 Hz e λ₁=4 m.

Esempio svolto 2

Per n=3, f₃=3 Hz e λ₃=4/3 m, con due nodi interni.

Applicazioni

Lo stesso linguaggio descrive strumenti musicali, comunicazioni, onde sismiche e misure interferometriche. Lo spettro rivela strutture nascoste nella traccia temporale.

Errore comune

La configurazione che si propaga non è il moto di una parte del mezzo. L’interferenza ridistribuisce l’energia. Una DFT ha risoluzione finita e limite di Nyquist.

Un’indagine ulteriore

A v costante, che cosa accade alla fondamentale se la lunghezza raddoppia?

Verifica la comprensione

Quanti nodi interni sono presenti nella seconda armonica?

• Uno
• Due
• Nessuno

Limiti del modello

Modello didattico analitico lineare, non un solutore numerico dei fluidi. Nessuno smorzamento, dispersione o accoppiamento non lineare.

University Physics Volume 1, 16.6 Standing Waves and Resonance

Come possono onde semplici formare un segnale complesso?

Dove apparirà il picco spettrale della terza armonica?

1. Seleziona segnale e spettro.
2. Imposta la fondamentale a 2 Hz.
3. Modifica l’ampiezza della terza armonica; confronta la traccia temporale e la DFT.

Che cosa misurare

Frequenza di campionamento f_s, N, distanza tra gli intervalli Δf=f_s/N, limite di Nyquist f_s/2 e frequenze dei picchi.

L’idea alla base

La DFT proietta i campioni su funzioni di base sinusoidali. Lo spettro è calcolato dal segnale sintetico, non è decorativo. Un’osservazione di un secondo distingue intervalli di 1 Hz. Un numero non intero di cicli causa dispersione spettrale. Le frequenze superiori alla metà della frequenza di campionamento possono apparire come frequenze più basse per aliasing; i circuiti reali usano filtri antialias.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi la perturbazione come y = A sin(kx − ωt + φ), con k = 2π/λ e ω = 2πf.
2. Mantenere costante la fase dà v = ω/k = fλ. Con fasi diverse si sommano gli spostamenti, non direttamente le ampiezze.
3. Due onde in versi opposti formano nodi dove la somma è nulla in ogni istante.

Esempio svolto 1

Per f₀=2 Hz e A₃=0.3, i picchi sono a 2 e 6 Hz, con ampiezze 1 e 0.3.

Esempio svolto 2

Per f_s=256 Hz e N=256, Δf=1 Hz e la frequenza di Nyquist è 128 Hz. Una componente a 150 Hz appare a 106 Hz per aliasing.

Applicazioni

Lo stesso linguaggio descrive strumenti musicali, comunicazioni, onde sismiche e misure interferometriche. Lo spettro rivela strutture nascoste nella traccia temporale.

Errore comune

La configurazione che si propaga non è il moto di una parte del mezzo. L’interferenza ridistribuisce l’energia. Una DFT ha risoluzione finita e limite di Nyquist.

Un’indagine ulteriore

A f_s costante, come cambia Δf raddoppiando il tempo di osservazione?

Verifica la comprensione

Per un segnale idealmente limitato in banda sotto 10 Hz, la frequenza di campionamento deve superare…

• 10 Hz
• 20 Hz
• 5 Hz

Limiti del modello

Modello didattico analitico lineare, non un solutore numerico dei fluidi. Nessuno smorzamento, dispersione o accoppiamento non lineare.

6.003 Signals and Systems — Lecture Notes

Che cosa determina il periodo di un pendolo?

Che cosa determina il periodo di un pendolo?

1. Imposta L=1 m e annota il periodo.
2. Porta L a 2 m; prevedi prima il rapporto dei periodi.
3. Cambia l’angolo da 4° a 12° e confronta.

Che cosa misurare

L in m; g in m/s²; θ in radianti; T in secondi.

L’idea alla base

Per piccoli angoli l’accelerazione tangenziale di richiamo è proporzionale allo spostamento angolare. Il periodo dipende da lunghezza e gravità, non dalla massa. Gli angoli iniziali sono limitati a 14° per rendere significativa l’approssimazione. Una corda più lunga rallenta l’oscillazione; una gravità maggiore la accelera. Altezza e velocità scambiano energia potenziale e cinetica. La sospensione è tridimensionale, ma il moto è piano.

Costruisci il ragionamento

1. Disegna le forze e scegli le coordinate prima di scrivere un’equazione differenziale.
2. Verifica il risultato con la conservazione dell’energia e la coerenza dimensionale.
3. Modifica un parametro alla volta e confronta un rapporto anziché affidarti all’impressione visiva.

Esempio svolto 1

Con L=1 m e g=9.81 m/s², T=2.006 s.

Esempio svolto 2

Con L=2 m il periodo è 2.837 s, maggiore di √2.

Applicazioni

Gli oscillatori compaiono in orologi, isolamento dalle vibrazioni, sensori e strutture. Le quantità conservate semplificano la previsione del moto.

Errore comune

Una forza cambia la velocità vettoriale, non solo il modulo. Un’asta senza massa e una molla ideale sono ipotesi; il pendolo a piccoli angoli ha validità limitata.

Un’indagine ulteriore

Trova la lunghezza per un periodo di 2 s.

Verifica la comprensione

Raddoppiare la lunghezza moltiplica il periodo per…

• √2
• 2
• 1/2

Limiti del modello

Modello analitico a piccoli angoli; sospensione rigida senza massa, nessun attrito.

OpenStax · Pendulums

Dove immagazzina energia un oscillatore?

Dove immagazzina energia un oscillatore?

1. Ferma il moto a un estremo e identifica l’energia.
2. Raddoppia la costante elastica a massa fissa.
3. Raddoppia l’ampiezza e confronta l’energia totale.

Che cosa misurare

k in N/m; m in kg; A e x in m; E in J.

L’idea alla base

Una molla di Hooke esercita una forza proporzionale e opposta allo spostamento. Senza smorzamento la massa compie un moto sinusoidale. L’energia potenziale è massima agli estremi, dove la velocità è nulla; quella cinetica è massima all’equilibrio, dove la forza elastica è nulla. Forza nulla in un istante non significa velocità nulla. La rigidità cambia la scala temporale; l’ampiezza cambia quadraticamente l’energia.

Costruisci il ragionamento

1. Disegna le forze e scegli le coordinate prima di scrivere un’equazione differenziale.
2. Verifica il risultato con la conservazione dell’energia e la coerenza dimensionale.
3. Modifica un parametro alla volta e confronta un rapporto anziché affidarti all’impressione visiva.

Esempio svolto 1

k=12 N/m e m=1 kg danno T=1.814 s.

Esempio svolto 2

A=0.8 m dà E=3.84 J. A=0.4 m dà E=0.96 J.

Applicazioni

Gli oscillatori compaiono in orologi, isolamento dalle vibrazioni, sensori e strutture. Le quantità conservate semplificano la previsione del moto.

Errore comune

Una forza cambia la velocità vettoriale, non solo il modulo. Un’asta senza massa e una molla ideale sono ipotesi; il pendolo a piccoli angoli ha validità limitata.

Un’indagine ulteriore

Scegli una massa che dimezzi la frequenza.

Verifica la comprensione

All’equilibrio l’energia cinetica è…

• Massima
• Nulla
• Negativa

Limiti del modello

Molla lineare ideale, nessuno smorzamento o gravità lungo la guida orizzontale.

OpenStax · Simple harmonic motion

Perché un proiettile descrive una parabola?

Perché un proiettile descrive una parabola?

1. Confronta lanci a 30° e 60°.
2. Imposta 45°, poi raddoppia la velocità.
3. Riduci la gravità e confronta tempo di volo e gittata.

Che cosa misurare

v₀ in m/s; g in m/s²; θ è l’angolo di lancio; R in m.

L’idea alla base

Il moto orizzontale è uniforme e quello verticale ha accelerazione costante verso il basso. La combinazione produce una parabola. Al vertice la velocità verticale è nulla ma l’accelerazione resta −g. Con partenza e arrivo alla stessa quota, angoli complementari danno la stessa gittata; 45° è ottimale solo senza resistenza. Ogni ciclo ripete un nuovo lancio, non un rimbalzo che aggiunge energia.

Costruisci il ragionamento

1. Disegna le forze e scegli le coordinate prima di scrivere un’equazione differenziale.
2. Verifica il risultato con la conservazione dell’energia e la coerenza dimensionale.
3. Modifica un parametro alla volta e confronta un rapporto anziché affidarti all’impressione visiva.

Esempio svolto 1

v₀=8 m/s, θ=45°, g=9.81 danno R=6.524 m.

Esempio svolto 2

Il vertice è a 1.631 m e il volo dura 1.153 s.

Applicazioni

Gli oscillatori compaiono in orologi, isolamento dalle vibrazioni, sensori e strutture. Le quantità conservate semplificano la previsione del moto.

Errore comune

Una forza cambia la velocità vettoriale, non solo il modulo. Un’asta senza massa e una molla ideale sono ipotesi; il pendolo a piccoli angoli ha validità limitata.

Un’indagine ulteriore

Trova due angoli diversi con la stessa gittata.

Verifica la comprensione

Al vertice l’accelerazione è…

• Verso il basso, g
• Nulla
• Orizzontale

Limiti del modello

Proiettile puntiforme, terreno piano, g costante, nessuna resistenza, quote iniziale e finale uguali.

OpenStax · Projectile motion

Perché avvicinare la massa aumenta la velocità angolare?

Perché avvicinare la massa aumenta la velocità angolare?

1. Annota la velocità angolare a r=2 m.
2. Dimezza il raggio a momento angolare costante.
3. Confronta il rapporto delle energie cinetiche.

Che cosa misurare

I in kg m²; L in kg m²/s; ω in rad/s.

L’idea alla base

Senza momento esterno il momento angolare resta costante. Una massa puntiforme ha I=mr²: ridurre il raggio richiede una velocità angolare maggiore. L’energia cinetica aumenta perché il meccanismo che tira la massa compie lavoro. Conservare il momento angolare non impone energia cinetica costante durante il cambiamento del raggio. Il laboratorio confronta stati circolari, non il movimento dell’attuatore.

Costruisci il ragionamento

1. Disegna le forze e scegli le coordinate prima di scrivere un’equazione differenziale.
2. Verifica il risultato con la conservazione dell’energia e la coerenza dimensionale.
3. Modifica un parametro alla volta e confronta un rapporto anziché affidarti all’impressione visiva.

Esempio svolto 1

L=1.5, m=1 kg, r=1.5 m danno ω=0.667 rad/s.

Esempio svolto 2

Dimezzare il raggio moltiplica sia ω sia K per quattro.

Applicazioni

Gli oscillatori compaiono in orologi, isolamento dalle vibrazioni, sensori e strutture. Le quantità conservate semplificano la previsione del moto.

Errore comune

Una forza cambia la velocità vettoriale, non solo il modulo. Un’asta senza massa e una molla ideale sono ipotesi; il pendolo a piccoli angoli ha validità limitata.

Un’indagine ulteriore

Spiega da dove arriva l’energia cinetica aggiuntiva.

Verifica la comprensione

A L costante, dimezzare il raggio moltiplica ω per…

• 4
• 2
• 1/2

Limiti del modello

Massa puntiforme su guida circolare assegnata; cambiare raggio seleziona nuovi stati ideali.

OpenStax · Angular momentum

Come devia un fascio uno specchio inclinato?

Come devia un fascio uno specchio inclinato?

1. Scegli incidenza di 30° e individua entrambi gli angoli.
2. Ruota lo specchio di 10° mantenendo fisso il fascio incidente.
3. Confronta le direzioni uscenti prima e dopo.

Che cosa misurare

Tutti gli angoli sono misurati dalla normale locale, in gradi nei controlli.

L’idea alla base

La riflessione speculare conserva l’angolo rispetto alla normale locale. Ruotare lo specchio ruota la normale e cambia la direzione uscente del doppio, se il fascio incidente resta fisso. La scena mostra raggi paralleli e la normale sul banco ottico. I raggi sono percorsi geometrici, non l’oscillazione trasversale del campo elettromagnetico.

Costruisci il ragionamento

1. Individua l’asse ottico e la normale a ogni interfaccia.
2. Applica la riflessione, la legge di Snell o l’equazione paraxiale della lente secondo il modello.
3. Verifica i casi limite: indici uguali, oggetto nel piano focale o fenditura molto più larga della lunghezza d’onda.

Esempio svolto 1

Un raggio incidente a 35° si riflette a 35° dalla normale.

Esempio svolto 2

Ruotare lo specchio di 5° devia un fascio fisso di 10°.

Applicazioni

Fotocamere, microscopi e fibre ottiche combinano percorsi geometrici e limiti ondulatori. Un’immagine geometricamente nitida può essere limitata dalla diffrazione.

Errore comune

Gli angoli si misurano dalla normale, non dalla superficie. Un’immagine virtuale si trova prolungando i raggi all’indietro: i raggi reali non vi convergono.

Un’indagine ulteriore

Scegli un’inclinazione che devii il fascio di 24°.

Verifica la comprensione

Gli angoli di riflessione si misurano da…

• La normale
• La superficie
• La fotocamera

Limiti del modello

Specchio piano perfetto e raggi geometrici; nessuna rugosità, assorbimento o polarizzazione.

OpenStax · Refraction

Quando la luce si piega e quando non può uscire?

Quando la luce si piega e quando non può uscire?

1. Imposta n₁=1 e n₂=1.5, poi aumenta l’incidenza.
2. Scambia gli indici e cerca l’angolo critico.
3. Confronta con mezzi di indice uguale.

Che cosa misurare

n è l’indice; c/n è la velocità di fase; gli angoli sono rispetto alla normale.

L’idea alla base

Un’onda cambia velocità attraversando mezzi con indici diversi. La continuità della fase lungo l’interfaccia dà la legge di Snell. Entrando in un indice maggiore il raggio si avvicina alla normale. Da indice maggiore a minore esiste un angolo oltre il quale non c’è un raggio trasmesso propagante: riflessione totale interna. Il laboratorio segnala esplicitamente questa condizione.

Costruisci il ragionamento

1. Individua l’asse ottico e la normale a ogni interfaccia.
2. Applica la riflessione, la legge di Snell o l’equazione paraxiale della lente secondo il modello.
3. Verifica i casi limite: indici uguali, oggetto nel piano focale o fenditura molto più larga della lunghezza d’onda.

Esempio svolto 1

A 30° dall’aria a n=1.5, θ₂=19.47°.

Esempio svolto 2

Da n₁=1.5 a n₂=1, θc=41.81°.

Applicazioni

Fotocamere, microscopi e fibre ottiche combinano percorsi geometrici e limiti ondulatori. Un’immagine geometricamente nitida può essere limitata dalla diffrazione.

Errore comune

Gli angoli si misurano dalla normale, non dalla superficie. Un’immagine virtuale si trova prolungando i raggi all’indietro: i raggi reali non vi convergono.

Un’indagine ulteriore

Trova due indici con angolo critico vicino a 30°.

Verifica la comprensione

La riflessione totale richiede…

• Da indice maggiore a minore
• Da indice minore a maggiore
• Indici uguali

Limiti del modello

Mezzi omogenei senza perdite; nessuna dispersione o intensità di Fresnel.

OpenStax · Refraction

Come crea una lente immagini reali e virtuali?

Come crea una lente immagini reali e virtuali?

1. Metti l’oggetto a tre distanze focali.
2. Avvicinati al piano focale e osserva la distanza dell’immagine.
3. Entra dentro il fuoco e osserva i prolungamenti.

Che cosa misurare

f, dₒ e dᵢ in m; dᵢ negativo indica immagine virtuale.

L’idea alla base

Una lente sottile convergente dirige i raggi paraxiali paralleli verso il fuoco. Un oggetto oltre il fuoco produce un’immagine reale capovolta dall’altro lato. Dentro il fuoco i raggi divergono: i prolungamenti individuano un’immagine virtuale diritta. Esattamente al fuoco l’immagine è all’infinito, caso segnalato nella misura. La forma del vetro è illustrativa; il calcolo usa la lente sottile.

Costruisci il ragionamento

1. Individua l’asse ottico e la normale a ogni interfaccia.
2. Applica la riflessione, la legge di Snell o l’equazione paraxiale della lente secondo il modello.
3. Verifica i casi limite: indici uguali, oggetto nel piano focale o fenditura molto più larga della lunghezza d’onda.

Esempio svolto 1

f=1 m e dₒ=3 m danno dᵢ=1.5 m e M=−0.5.

Esempio svolto 2

f=1 m e dₒ=0.5 m danno dᵢ=−1 m e M=2.

Applicazioni

Fotocamere, microscopi e fibre ottiche combinano percorsi geometrici e limiti ondulatori. Un’immagine geometricamente nitida può essere limitata dalla diffrazione.

Errore comune

Gli angoli si misurano dalla normale, non dalla superficie. Un’immagine virtuale si trova prolungando i raggi all’indietro: i raggi reali non vi convergono.

Un’indagine ulteriore

Trova la posizione che dà un’immagine reale di uguale dimensione.

Verifica la comprensione

Una distanza immagine negativa significa…

• Immagine virtuale
• Assenza di luce
• Energia negativa

Limiti del modello

Lente convergente sottile paraxiale. Nessuna aberrazione, spessore, dispersione o diffrazione.

OpenStax · Thin lenses

Perché una fenditura stretta crea una figura larga?

Perché una fenditura stretta crea una figura larga?

1. Imposta λ=550 nm e a=3 µm.
2. Dimezza la larghezza e confronta il primo minimo.
3. Aumenta la distanza dello schermo senza cambiare il profilo angolare.

Che cosa misurare

a è la larghezza; λ è la lunghezza d’onda; β è adimensionale.

L’idea alla base

Parti diverse della fenditura illuminata contribuiscono coerentemente. Ad alcuni angoli i contributi si annullano, creando minimi. Restringere la fenditura allarga il massimo centrale; aumentare la lunghezza d’onda ha lo stesso effetto. È un modello di intensità in campo lontano, non un’ombra geometrica. Il banco mostra fenditura e schermo in 3D e campiona il profilo sinc al quadrato.

Costruisci il ragionamento

1. Individua l’asse ottico e la normale a ogni interfaccia.
2. Applica la riflessione, la legge di Snell o l’equazione paraxiale della lente secondo il modello.
3. Verifica i casi limite: indici uguali, oggetto nel piano focale o fenditura molto più larga della lunghezza d’onda.

Esempio svolto 1

λ=500 nm, a=2 µm danno sinθ₁=0.25 e θ₁=14.48°.

Esempio svolto 2

A piccoli angoli la larghezza centrale è circa 2Lλ/a.

Applicazioni

Fotocamere, microscopi e fibre ottiche combinano percorsi geometrici e limiti ondulatori. Un’immagine geometricamente nitida può essere limitata dalla diffrazione.

Errore comune

Gli angoli si misurano dalla normale, non dalla superficie. Un’immagine virtuale si trova prolungando i raggi all’indietro: i raggi reali non vi convergono.

Un’indagine ulteriore

Raddoppia insieme larghezza e lunghezza d’onda. Che cosa resta fisso?

Verifica la comprensione

Una fenditura più stretta produce…

• Un massimo centrale più largo
• Un massimo più stretto
• Nessuna diffrazione

Limiti del modello

Illuminazione monocromatica coerente, fenditura ideale, campo lontano di Fraunhofer; nessun campo vicino.

OpenStax · Single-slit diffraction

Come diventano pressione gli urti molecolari?

Come diventano pressione gli urti molecolari?

1. Annota la pressione a 300 K e lato 5 m.
2. Raddoppia T a lato costante.
3. Aumenta il lato: il volume cresce al cubo.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Un gas ideale descrive statisticamente molte particelle indipendenti. Gli urti elastici sulle pareti invertono la componente normale della velocità conservando l’energia. Molti trasferimenti di quantità di moto creano pressione. L’insieme campiona Maxwell: le molecole non hanno tutte la velocità RMS. Le misure si riferiscono a una mole in un cubo, mentre le particelle sono campioni rappresentativi rallentati e ingranditi. Aumentare T allarga la distribuzione; aumentare V a T costante riduce P.

Costruisci il ragionamento

1. Specifica insieme, massa delle particelle, temperatura e condizioni al contorno.
2. Media su molte particelle prima di confrontare quantità microscopiche e macroscopiche.
3. Per diffusione isotropa indipendente, ogni coordinata ha varianza 2Dt: lo spostamento quadratico medio tridimensionale è 6Dt.

Esempio svolto 1

Una mole a 300 K in 125 m³ dà P=19.95 Pa.

Esempio svolto 2

Raddoppiare il lato divide P per otto a T fissa.

Applicazioni

La statistica microscopica si collega a pressione, diffusione e trasporto. Le particelle rappresentano un insieme; dimensioni e velocità visive sono illustrative.

Errore comune

La temperatura descrive una distribuzione di energie cinetiche, non la velocità di ogni molecola. Una traiettoria stocastica non prevede una specifica collisione futura.

Un’indagine ulteriore

Raddoppiare T a volume fisso rende la pressione…

Verifica la comprensione

Raddoppiare T a volume fisso rende la pressione…

• Doppia
• Dimezzata
• Invariata

Limiti del modello

Termodinamica del gas ideale monoatomico; particelle indipendenti e pareti elastiche; nessun urto intermolecolare o correzione reale.

OpenStax · Molecular model of an ideal gas

Che cosa significa velocità termica?

Che cosa significa velocità termica?

1. Confronta 4 e 28 g/mol a 300 K.
2. Aumenta T e osserva l’allargamento dell’istogramma.
3. Confronta i rapporti con la legge della radice.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Ogni componente cartesiana della velocità molecolare segue una gaussiana all’equilibrio. Il modulo del vettore tridimensionale non ha però distribuzione gaussiana. Velocità più probabile, media e RMS sono diverse. La RMS è direttamente legata all’energia cinetica. Un gas più pesante alla stessa temperatura si muove mediamente più lentamente, poiché l’energia per particella è uguale. L’insieme tridimensionale usa gli stessi campioni normali riproducibili dell’istogramma.

Costruisci il ragionamento

1. Specifica insieme, massa delle particelle, temperatura e condizioni al contorno.
2. Media su molte particelle prima di confrontare quantità microscopiche e macroscopiche.
3. Per diffusione isotropa indipendente, ogni coordinata ha varianza 2Dt: lo spostamento quadratico medio tridimensionale è 6Dt.

Esempio svolto 1

A 300 K e 28 g/mol, vᵣₘₛ≈517 m/s.

Esempio svolto 2

Quadruplicare T raddoppia la velocità RMS.

Applicazioni

La statistica microscopica si collega a pressione, diffusione e trasporto. Le particelle rappresentano un insieme; dimensioni e velocità visive sono illustrative.

Errore comune

La temperatura descrive una distribuzione di energie cinetiche, non la velocità di ogni molecola. Una traiettoria stocastica non prevede una specifica collisione futura.

Un’indagine ulteriore

A uguale temperatura, una molecola più pesante ha…

Verifica la comprensione

A uguale temperatura, una molecola più pesante ha…

• Velocità RMS minore
• Energia media maggiore
• Moto nullo

Limiti del modello

Gas classico diluito all’equilibrio; insieme finito rappresentativo, non solutore di urti a molti corpi.

OpenStax · Molecular model of an ideal gas

Un moto casuale può avere una legge prevedibile?

Un moto casuale può avere una legge prevedibile?

1. Avvia il tracciante e osserva la traccia da due angoli.
2. Raddoppia il raggio a T costante.
3. Confronta lo spostamento RMS teorico allo stesso tempo.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Un tracciante sospeso riceve molti impulsi microscopici irregolari. Il percorso individuale è imprevedibile, ma lo spostamento quadratico medio segue una legge semplice. Il laboratorio integra incrementi gaussiani indipendenti di varianza 2DΔt per direzione. È un modello di diffusione sovrasmorzata, non di singoli urti del solvente. Il coefficiente aumenta con T e diminuisce col raggio secondo la dipendenza di Stokes–Einstein a viscosità fissa. Confronta la dispersione, non un singolo punto finale.

Costruisci il ragionamento

1. Specifica insieme, massa delle particelle, temperatura e condizioni al contorno.
2. Media su molte particelle prima di confrontare quantità microscopiche e macroscopiche.
3. Per diffusione isotropa indipendente, ogni coordinata ha varianza 2Dt: lo spostamento quadratico medio tridimensionale è 6Dt.

Esempio svolto 1

D=0.06 m²/s per 10 s dà RMS=√3.6=1.897 m.

Esempio svolto 2

Un tempo quadruplo dà una distanza RMS doppia.

Applicazioni

La statistica microscopica si collega a pressione, diffusione e trasporto. Le particelle rappresentano un insieme; dimensioni e velocità visive sono illustrative.

Errore comune

La temperatura descrive una distribuzione di energie cinetiche, non la velocità di ogni molecola. Una traiettoria stocastica non prevede una specifica collisione futura.

Un’indagine ulteriore

Lo spostamento RMS cresce con il tempo come…

Verifica la comprensione

Lo spostamento RMS cresce con il tempo come…

• √t
• t²
• Una costante

Limiti del modello

Diffusione gaussiana sovrasmorzata a viscosità fissa; nessuna interazione idrodinamica. Distanze in coordinate del modello.

MIT OpenCourseWare · Random walks and diffusion

Perché una nube concentrata si espande?

Perché una nube concentrata si espande?

1. Parti da una nube stretta e ferma dopo cinque secondi.
2. Raddoppia D e confronta allo stesso tempo.
3. Aumenta il campione per ridurre le fluttuazioni.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Cammini casuali indipendenti trasformano una concentrazione stretta in una distribuzione più larga. Nessuna forza spinge le particelle dal centro: ne escono dalle regioni dense più di quante ne entrino. Per una nube gaussiana la varianza cresce come σ²=σ₀²+2Dt su ciascun asse. Il centro fluttua con un campione finito; più particelle migliorano la stabilità statistica senza cambiare D. La griglia è un riferimento, non una parete.

Costruisci il ragionamento

1. Specifica insieme, massa delle particelle, temperatura e condizioni al contorno.
2. Media su molte particelle prima di confrontare quantità microscopiche e macroscopiche.
3. Per diffusione isotropa indipendente, ogni coordinata ha varianza 2Dt: lo spostamento quadratico medio tridimensionale è 6Dt.

Esempio svolto 1

σ₀=0.25 m, D=0.08 m²/s, t=5 s danno σ=0.929 m per asse.

Esempio svolto 2

Il raggio RMS tridimensionale è √(3σ₀²+6Dt).

Applicazioni

La statistica microscopica si collega a pressione, diffusione e trasporto. Le particelle rappresentano un insieme; dimensioni e velocità visive sono illustrative.

Errore comune

La temperatura descrive una distribuzione di energie cinetiche, non la velocità di ogni molecola. Una traiettoria stocastica non prevede una specifica collisione futura.

Un’indagine ulteriore

Aumentare il numero di particelle cambia D?

Verifica la comprensione

Aumentare il numero di particelle cambia D?

• No
• Lo raddoppia
• Lo annulla

Limiti del modello

Cammini gaussiani indipendenti in mezzo illimitato; nessuna reazione, convezione o D dipendente dalla concentrazione.

MIT OpenCourseWare · Random walks and diffusion

Perché sono ammesse solo certe energie?

Perché sono ammesse solo certe energie?

1. Aumenta n da 1 a 3 e conta i nodi.
2. Raddoppia la larghezza e osserva l’energia.
3. Ferma e confronta ampiezza con segno e probabilità.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Un elettrone tra pareti infinite deve avere funzione d’onda nulla ai bordi. Entrano solo onde sinusoidali con un numero intero di mezze lunghezze d’onda. Le energie variano come n²/L². Il nastro con segno mostra la parte reale di ψ; l’inviluppo mostra |ψ|². Uno stato stazionario ha densità costante anche se la fase complessa evolve. Lo spessore trasversale è illustrativo: il confinamento è unidimensionale.

Costruisci il ragionamento

1. Definisci potenziale e condizioni al contorno, poi risolvi o approssima l’equazione di Schrödinger.
2. Normalizza la funzione d’onda in modo che l’integrale di |ψ|² sia uno.
3. Interpreta le distribuzioni misurabili tramite |ψ|²; il colore indica ampiezza con segno o fase solo dove specificato.

Esempio svolto 1

Un elettrone in 1 nm ha E₁≈0.376 eV.

Esempio svolto 2

Per n=2, E₂=4E₁; raddoppiare L divide le energie per quattro.

Applicazioni

Confinamento, effetto tunnel e orbitali sono alla base di semiconduttori, microscopi a effetto tunnel e spettroscopia atomica. La scena mostra probabilità o ampiezza, mai un’orbita classica nascosta.

Errore comune

Una nube di probabilità non è uno sciame di elettroni. Segno o fase della funzione d’onda differiscono dalla densità di probabilità. Sono modelli ideali a una particella.

Un’indagine ulteriore

Quanti nodi interni ha lo stato n?

Verifica la comprensione

Quanti nodi interni ha lo stato n?

• n−1
• n+1
• Sempre zero

Limiti del modello

Singolo elettrone non relativistico in buca infinita unidimensionale; spessore illustrativo.

OpenStax · Particle in a box

Come si trasmette una particella sotto l’energia della barriera?

Come si trasmette una particella sotto l’energia della barriera?

1. Imposta E=1 eV, barriera 4 eV e spessore 0.2 nm.
2. Aumenta lo spessore a passi di 0.05 nm.
3. Aumenta E restando sotto la barriera.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Per E sotto una barriera rettangolare finita, la funzione d’onda decade esponenzialmente invece di annullarsi. Raccordare funzione e derivata ai bordi dà probabilità di trasmissione non nulla. La misura usa la formula esatta della barriera rettangolare 1D; l’inviluppo illustra l’evanescenza. Un piccolo aumento dello spessore può ridurre la trasmissione di ordini di grandezza. Non si prende energia in prestito: l’energia trasmessa resta quella incidente.

Costruisci il ragionamento

1. Definisci potenziale e condizioni al contorno, poi risolvi o approssima l’equazione di Schrödinger.
2. Normalizza la funzione d’onda in modo che l’integrale di |ψ|² sia uno.
3. Interpreta le distribuzioni misurabili tramite |ψ|²; il colore indica ampiezza con segno o fase solo dove specificato.

Esempio svolto 1

A E=1 eV, V₀=4 eV e a=0.2 nm, T≈8.45%.

Esempio svolto 2

La costante di decadimento è circa 8.87 nm⁻¹ per V₀−E=3 eV.

Applicazioni

Confinamento, effetto tunnel e orbitali sono alla base di semiconduttori, microscopi a effetto tunnel e spettroscopia atomica. La scena mostra probabilità o ampiezza, mai un’orbita classica nascosta.

Errore comune

Una nube di probabilità non è uno sciame di elettroni. Segno o fase della funzione d’onda differiscono dalla densità di probabilità. Sono modelli ideali a una particella.

Un’indagine ulteriore

Aumentare lo spessore della barriera rende la trasmissione…

Verifica la comprensione

Aumentare lo spessore della barriera rende la trasmissione…

• Minore
• Maggiore
• Esattamente uno

Limiti del modello

Elettrone stazionario non relativistico; barriera rettangolare ed E<V₀; inviluppo illustrativo, non soluzione temporale dello scattering.

OpenStax · Quantum tunnelling

Che cosa costa in quantità di moto un pacchetto stretto?

Che cosa costa in quantità di moto un pacchetto stretto?

1. Confronta pacchetti iniziali larghi e stretti.
2. Annota Δk per ogni Δx.
3. Aumenta la dispersione e segui l’inviluppo.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Un pacchetto localizzato richiede una sovrapposizione di numeri d’onda. Un pacchetto gaussiano soddisfa ΔxΔk=1/2: restringere la posizione allarga la distribuzione dei numeri d’onda. L’evoluzione libera allarga l’inviluppo perché le componenti hanno velocità di gruppo diverse. La scena usa un inviluppo gaussiano analitico e un orologio di fase illustrativo. Il centro ricompare al bordo per l’ispezione: non è un calcolo con condizioni periodiche.

Costruisci il ragionamento

1. Definisci potenziale e condizioni al contorno, poi risolvi o approssima l’equazione di Schrödinger.
2. Normalizza la funzione d’onda in modo che l’integrale di |ψ|² sia uno.
3. Interpreta le distribuzioni misurabili tramite |ψ|²; il colore indica ampiezza con segno o fase solo dove specificato.

Esempio svolto 1

Δx=0.5 nm dà Δk=1 nm⁻¹.

Esempio svolto 2

Δx=1 nm dà Δk=0.5 nm⁻¹.

Applicazioni

Confinamento, effetto tunnel e orbitali sono alla base di semiconduttori, microscopi a effetto tunnel e spettroscopia atomica. La scena mostra probabilità o ampiezza, mai un’orbita classica nascosta.

Errore comune

Una nube di probabilità non è uno sciame di elettroni. Segno o fase della funzione d’onda differiscono dalla densità di probabilità. Sono modelli ideali a una particella.

Un’indagine ulteriore

Dimezzare Δx cambia il minimo Δk in…

Verifica la comprensione

Dimezzare Δx cambia il minimo Δk in…

• Il doppio
• La metà
• Zero

Limiti del modello

Inviluppo gaussiano analitico; fase e tempo di riproduzione illustrativi, non tempo calibrato di propagazione elettronica.

OpenStax · The Schrödinger equation

Che cosa rappresenta un orbitale atomico?

Che cosa rappresenta un orbitale atomico?

1. Passa da 1s a 2p e ruota la nube.
2. Individua il piano nodale nel 2p.
3. Aumenta Z e confronta dimensioni ed energia.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Un orbitale idrogenoide è una funzione d’onda stazionaria nel potenziale di Coulomb del nucleo. La nube campiona la probabilità, non molti elettroni su percorsi nascosti. Lo stato 1s è sferico. Un 2p reale ha due lobi di segno opposto e un piano nodale nel nucleo. Aumentare Z contrae la nube e abbassa l’energia come Z². Il colore indica il segno della funzione d’onda, non carica elettrica positiva o negativa.

Costruisci il ragionamento

1. Definisci potenziale e condizioni al contorno, poi risolvi o approssima l’equazione di Schrödinger.
2. Normalizza la funzione d’onda in modo che l’integrale di |ψ|² sia uno.
3. Interpreta le distribuzioni misurabili tramite |ψ|²; il colore indica ampiezza con segno o fase solo dove specificato.

Esempio svolto 1

L’idrogeno 1s ha E≈−13.606 eV; il 2p E≈−3.401 eV.

Esempio svolto 2

Per Z=2, i moduli delle energie idrogenoidi quadruplicano.

Applicazioni

Confinamento, effetto tunnel e orbitali sono alla base di semiconduttori, microscopi a effetto tunnel e spettroscopia atomica. La scena mostra probabilità o ampiezza, mai un’orbita classica nascosta.

Errore comune

Una nube di probabilità non è uno sciame di elettroni. Segno o fase della funzione d’onda differiscono dalla densità di probabilità. Sono modelli ideali a una particella.

Un’indagine ulteriore

I due colori dei lobi rappresentano…

Verifica la comprensione

I due colori dei lobi rappresentano…

• Segno della funzione d’onda
• Cariche opposte
• Due elettroni

Limiti del modello

Atomo coulombiano a un elettrone, orbitali reali 1s e 2p_y; nessuna interazione elettronica, spin o struttura fine.

OpenStax · Hydrogen atom

Un numero adimensionale può descrivere una famiglia di orbite?

Un numero adimensionale può descrivere una famiglia di orbite?

1. Mantieni il rapporto a 1 e cambia la massa.
2. Confronta le velocità caratteristiche.
3. Prevedi il rapporto dei tempi prima di cambiare raggio.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Il rapporto fra velocità iniziale e circolare elimina le unità dal problema. A dimensione relativa del pianeta fissa, rapporti uguali producono classi simili di traiettorie anche variando massa e raggio. L’analisi dimensionale predice il tempo √(r³/μ). Cambiare raggio senza considerare la superficie può modificare le collisioni: servono tutti i rapporti adimensionali rilevanti.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi una previsione prima di avviare l’esperimento.
2. Mantieni costanti tutte le variabili tranne una, ripeti le misure e calcola rapporti adimensionali.
3. Confronta le osservazioni con un limite analitico e documenta la discrepanza residua.

Esempio svolto 1

Raddoppiare μ aumenta la velocità circolare di √2.

Esempio svolto 2

Raddoppiare r aumenta il tempo orbitale di 2√2.

Applicazioni

Un modello utile fa previsioni verificabili e indica dove fallisce. Impostazioni riproducibili e misure esportate trasformano una visualizzazione in evidenza.

Errore comune

Più cifre decimali non garantiscono più accuratezza. Distingui errore di discretizzazione, incertezza degli ingressi e limiti del modello fisico.

Un’indagine ulteriore

Quale rapporto segna la soglia di fuga?

Verifica la comprensione

Quale rapporto segna la soglia di fuga?

• √2
• 1
• 2π

Limiti del modello

Assenza di peso non significa assenza di gravità. Il raggio orbitale si misura dal centro. La deriva numerica non è produzione reale di energia.

University Physics Volume 1, 13.4 Satellite Orbits and Energy

Come verifica un modello una quantità conservata?

Come verifica un modello una quantità conservata?

1. Annota energia totale e ampiezza iniziale.
2. Ferma vicino all’equilibrio e osserva lo spostamento.
3. Cambia massa e spiega perché E resta fissa a k,A costanti.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Una legge di conservazione verifica indipendentemente una traiettoria. Nell’oscillatore valuta energia cinetica e potenziale a fasi diverse, non solo l’ampiezza visiva. La somma resta fissa. La soluzione è analitica: discrepanze oltre l’arrotondamento indicano errori di implementazione o unità, non dissipazione. Confrontare impostazioni diverse richiede considerare il lavoro durante il cambiamento.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi una previsione prima di avviare l’esperimento.
2. Mantieni costanti tutte le variabili tranne una, ripeti le misure e calcola rapporti adimensionali.
3. Confronta le osservazioni con un limite analitico e documenta la discrepanza residua.

Esempio svolto 1

k=12 N/m e A=0.8 m immagazzinano 3.84 J.

Esempio svolto 2

A x=A/2, un quarto di E è potenziale e tre quarti cinetico.

Applicazioni

Un modello utile fa previsioni verificabili e indica dove fallisce. Impostazioni riproducibili e misure esportate trasformano una visualizzazione in evidenza.

Errore comune

Più cifre decimali non garantiscono più accuratezza. Distingui errore di discretizzazione, incertezza degli ingressi e limiti del modello fisico.

Un’indagine ulteriore

A un estremo l’energia cinetica è…

Verifica la comprensione

A un estremo l’energia cinetica è…

• Nulla
• Tutta l’energia
• Negativa

Limiti del modello

Una forza cambia la velocità vettoriale, non solo il modulo. Un’asta senza massa e una molla ideale sono ipotesi; il pendolo a piccoli angoli ha validità limitata.

OpenStax · Simple harmonic motion

Un’approssimazione elegante è sempre accurata?

Un’approssimazione elegante è sempre accurata?

1. Converti 10° in radianti prima della stima.
2. Confronta angoli iniziali di 4° e 14°.
3. Stima se un obiettivo dello 0.1% sia plausibile.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Il pendolo a piccoli angoli sostituisce sinθ con θ. Il primo termine trascurato è −θ³/6: l’errore relativo della forza cresce circa come θ²/6. Anche un’approssimazione visivamente convincente può non bastare per un orologio preciso. Il laboratorio resta sotto 15° e riporta il periodo approssimato. Non simula falsamente grandi angoli non lineari. Confronta la correzione con l’accuratezza richiesta.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi una previsione prima di avviare l’esperimento.
2. Mantieni costanti tutte le variabili tranne una, ripeti le misure e calcola rapporti adimensionali.
3. Confronta le osservazioni con un limite analitico e documenta la discrepanza residua.

Esempio svolto 1

A 10°, θ=0.1745 rad e θ²/16≈0.19%.

Esempio svolto 2

A 4°, la prima correzione del periodo è circa 0.030%.

Applicazioni

Un modello utile fa previsioni verificabili e indica dove fallisce. Impostazioni riproducibili e misure esportate trasformano una visualizzazione in evidenza.

Errore comune

Più cifre decimali non garantiscono più accuratezza. Distingui errore di discretizzazione, incertezza degli ingressi e limiti del modello fisico.

Un’indagine ulteriore

L’argomento di sin nella serie deve essere in…

Verifica la comprensione

L’argomento di sin nella serie deve essere in…

• Radianti
• Gradi
• Metri

Limiti del modello

Una forza cambia la velocità vettoriale, non solo il modulo. Un’asta senza massa e una molla ideale sono ipotesi; il pendolo a piccoli angoli ha validità limitata.

OpenStax · Pendulums

Che cosa nasconde un’osservazione finita?

Che cosa nasconde un’osservazione finita?

1. Imposta 3 Hz senza armoniche.
2. Passa a 3.5 Hz e osserva le barre vicine.
3. Aggiungi la terza armonica e individua la sua frequenza.

Che cosa misurare

Unità e definizioni dei parametri sono indicate accanto ai controlli e alle misure.

L’idea alla base

Una DFT misura la proiezione su un insieme finito di funzioni sinusoidali. Qui 256 campioni coprono un secondo: intervalli di 1 Hz e limite di Nyquist di 128 Hz. Una frequenza coincidente con un intervallo dà un picco netto. Una frazionaria si distribuisce sugli intervalli vicini perché la finestra rettangolare taglia fasi diverse. Interpolare renderebbe il grafico più liscio senza aumentare la risoluzione reale.

Costruisci il ragionamento

1. Scrivi una previsione prima di avviare l’esperimento.
2. Mantieni costanti tutte le variabili tranne una, ripeti le misure e calcola rapporti adimensionali.
3. Confronta le osservazioni con un limite analitico e documenta la discrepanza residua.

Esempio svolto 1

A 3 Hz la terza armonica è a 9 Hz.

Esempio svolto 2

Raddoppiare la finestra dimezzerebbe la distanza degli intervalli a frequenza di campionamento fissa.

Applicazioni

Un modello utile fa previsioni verificabili e indica dove fallisce. Impostazioni riproducibili e misure esportate trasformano una visualizzazione in evidenza.

Errore comune

Più cifre decimali non garantiscono più accuratezza. Distingui errore di discretizzazione, incertezza degli ingressi e limiti del modello fisico.

Un’indagine ulteriore

Smussare la curva aumenta la risoluzione fisica?

Verifica la comprensione

Smussare la curva aumenta la risoluzione fisica?

• No
• Sempre
• Solo in 3D

Limiti del modello

DFT diretta, campionamento a 256 Hz, 256 campioni, finestra rettangolare; sono mostrati i primi 40 Hz.

6.003 Signals and Systems — Lecture Notes