Quanto si indebolisce la gravità raddoppiando la distanza dal centro?
Si dimezza o si riduce a un quarto? Annota una previsione.
- Imposta il raggio iniziale dal centro a 7000 km e annota l’accelerazione.
- Raddoppia il raggio a 14000 km, ripristina e confronta.
- Mantieni fisso il raggio e raddoppia la massa centrale.
Che cosa misurare
Calcola a₂/a₁ e a·r²/μ; il secondo rapporto dovrebbe essere uguale a uno.
L’idea alla base
L’accelerazione è proporzionale alla massa centrale e inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro. Il raggio si misura dal centro, non dalla superficie. Un grafico logaritmico offre una verifica utile: log(g) in funzione di log(r) ha pendenza −2.
g = GM/r²; g₂/g₁ = (M₂/M₁)(r₁/r₂)²G=6.67430×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²; M in kg; r in m; g in m/s².
Costruisci il ragionamento
- Parti da F = GMm/r² e dividi per la massa del satellite: a = μ/r².
- Per il moto circolare poni v²/r = μ/r². Quindi v = √(μ/r) e T = 2π√(r³/μ).
- Combina energia cinetica e potenziale per unità di massa: ε = v²/2 − μ/r. Il segno distingue le traiettorie legate da quelle non legate.
Esempio svolto 1
A r=7×10⁶ m, g=8.13 m/s²; a 14×10⁶ m, g=2.03 m/s².
Esempio svolto 2
Raddoppiando sia la massa sia il raggio si ottiene g₂/g₁=2/4=0.5.
Applicazioni
La meccanica orbitale collega navigazione satellitare, comunicazioni e trasferimenti interplanetari. Un lancio sceglie posizione e velocità, non impone un cerchio.
Errore comune
Assenza di peso non significa assenza di gravità. Il raggio orbitale si misura dal centro. La deriva numerica non è produzione reale di energia.
Un’indagine ulteriore
Se il raggio raddoppia, quale fattore della massa mantiene invariata l’accelerazione?
Verifica la comprensione
Se la massa del satellite raddoppia, che cosa accade alla sua accelerazione?
- Raddoppia
- Resta invariata
Spiegazione
La massa del satellite si semplifica in a=F/m. La sfida richiede una massa centrale quattro volte maggiore.
Limiti del modello
Modello newtoniano a due corpi con massa centrale fissa. Nessuna resistenza, terzo corpo, schiacciamento polare o relatività. Le dimensioni visive sono illustrative; le condizioni iniziali sono ipotetiche, non effemeridi in tempo reale.
University Physics Volume 1, 13.2 Gravitation Near Earth’s Surface